Add Question 7
This commit is contained in:
parent
c8f8f72d59
commit
7790cf75aa
|
@ -212,21 +212,23 @@ $, find $ adj. A$
|
||||||
Adjoint of a matrix is the transpose of the cofactor matrix of the original matrix
|
Adjoint of a matrix is the transpose of the cofactor matrix of the original matrix
|
||||||
|
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
A_{11} =
|
Cofactor\;of\;A_{11} =
|
||||||
\begin{vmatrix}
|
\begin{vmatrix}
|
||||||
4 & 5 \\
|
4 & 5 \\
|
||||||
-6 & -7
|
-6 & -7
|
||||||
\end{vmatrix}
|
\end{vmatrix}
|
||||||
= 2
|
= 2
|
||||||
\;\;
|
\]
|
||||||
A_{12} =
|
\[
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{12} =
|
||||||
\begin{vmatrix}
|
\begin{vmatrix}
|
||||||
3 & 5 \\
|
3 & 5 \\
|
||||||
0 & -7
|
0 & -7
|
||||||
\end{vmatrix}
|
\end{vmatrix}
|
||||||
= -21
|
= -21
|
||||||
\;\;
|
\]
|
||||||
A_{13} =
|
\[
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{13} =
|
||||||
\begin{vmatrix}
|
\begin{vmatrix}
|
||||||
3 & 4 \\
|
3 & 4 \\
|
||||||
0 & -6
|
0 & -6
|
||||||
|
@ -234,21 +236,23 @@ Adjoint of a matrix is the transpose of the cofactor matrix of the original matr
|
||||||
= -18
|
= -18
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
A_{21} =
|
Cofactor\;of\;A_{21} =
|
||||||
\begin{vmatrix}
|
\begin{vmatrix}
|
||||||
0 & -1 \\
|
0 & -1 \\
|
||||||
-6 & -7
|
-6 & -7
|
||||||
\end{vmatrix}
|
\end{vmatrix}
|
||||||
= -6
|
= -6
|
||||||
\;\;
|
\]
|
||||||
A_{22} =
|
\[
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{22} =
|
||||||
\begin{vmatrix}
|
\begin{vmatrix}
|
||||||
1 & -1 \\
|
1 & -1 \\
|
||||||
0 & -7
|
0 & -7
|
||||||
\end{vmatrix}
|
\end{vmatrix}
|
||||||
= -7
|
= -7
|
||||||
\;\;
|
\]
|
||||||
A_{23} =
|
\[
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{23} =
|
||||||
\begin{vmatrix}
|
\begin{vmatrix}
|
||||||
1 & -1 \\
|
1 & -1 \\
|
||||||
0 & -6
|
0 & -6
|
||||||
|
@ -256,21 +260,23 @@ Adjoint of a matrix is the transpose of the cofactor matrix of the original matr
|
||||||
= -6
|
= -6
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
A_{31} =
|
Cofactor\;of\;A_{31} =
|
||||||
\begin{vmatrix}
|
\begin{vmatrix}
|
||||||
0 & -1 \\
|
0 & -1 \\
|
||||||
4 & 5
|
4 & 5
|
||||||
\end{vmatrix}
|
\end{vmatrix}
|
||||||
= 4
|
= 4
|
||||||
\;\;
|
\]
|
||||||
A_{32} =
|
\[
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{32} =
|
||||||
\begin{vmatrix}
|
\begin{vmatrix}
|
||||||
1 & -1 \\
|
1 & -1 \\
|
||||||
3 & 5
|
3 & 5
|
||||||
\end{vmatrix}
|
\end{vmatrix}
|
||||||
= 8
|
= 8
|
||||||
\;\;
|
\]
|
||||||
A_{33} =
|
\[
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{33} =
|
||||||
\begin{vmatrix}
|
\begin{vmatrix}
|
||||||
1 & 0 \\
|
1 & 0 \\
|
||||||
3 & 4
|
3 & 4
|
||||||
|
@ -297,4 +303,77 @@ Adjoint matrix is the transpose of Cofactor Matrix.
|
||||||
\end{bmatrix}
|
\end{bmatrix}
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\section{Question 7}
|
||||||
|
|
||||||
|
\( A =
|
||||||
|
\begin{bmatrix}
|
||||||
|
0 & 0 & 1 \\
|
||||||
|
0 & 1 & 0 \\
|
||||||
|
1 & 0 & 0
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
\), show that $A^{-1} = A$.
|
||||||
|
|
||||||
|
We know that
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
A^{-1} = \frac{adj.(A)}{|A|}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{11} &= 0 \\
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{12} &= 0 \\
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{13} &= -1 \\
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{21} &= 0 \\
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{22} &= -1 \\
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{23} &= 0 \\
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{31} &= -1 \\
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{32} &= 0 \\
|
||||||
|
Cofactor\;of\;A_{33} &= 0
|
||||||
|
\end{align*}
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
Cofactor\;Matrix =
|
||||||
|
\begin{bmatrix}
|
||||||
|
0 & 0 & -1 \\
|
||||||
|
0 & -1 & 0 \\
|
||||||
|
-1 & 0 & 0
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
adj.A =
|
||||||
|
\begin{bmatrix}
|
||||||
|
0 & 0 & -1 \\
|
||||||
|
0 & -1 & 0 \\
|
||||||
|
-1 & 0 & 0
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
|A| =
|
||||||
|
\begin{vmatrix}
|
||||||
|
0 & 0 & 1 \\
|
||||||
|
0 & 1 & 0 \\
|
||||||
|
1 & 0 & 0
|
||||||
|
\end{vmatrix}
|
||||||
|
= 1 \times
|
||||||
|
\begin{vmatrix}
|
||||||
|
0 & 1 \\
|
||||||
|
1 & 0
|
||||||
|
\end{vmatrix}
|
||||||
|
= 1 \times -1 = -1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
A^{-1} = \frac{adj.A}{|A|}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
A^{-1} =
|
||||||
|
\begin{bmatrix}
|
||||||
|
0 & 0 & 1 \\
|
||||||
|
0 & 1 & 0 \\
|
||||||
|
1 & 0 & 0
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\therefore A^{-1} = A
|
||||||
|
\]
|
||||||
\end{document}
|
\end{document}
|
||||||
|
|
Loading…
Reference in New Issue